Minitab - Varianzdispersionsdiagramm

• Überarbeitet am 12.4.2017
• Software: Minitab 17

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Erläuterung

In diesem Artikel möchten wir, auf Grundlage des französischsprachigen Originalartikels auf der Herstellerwebseite, Definition und Interpretation eines Varianzdispersionsdiagramms verdeutlichen. Varianzdispersionsdiagramme wurden von Giovannitti-Jensen und Myers (1989) und danach von Myers et al. (1992) entwickelt, um eine Momentaufnahme der Stabilität der skalierten Prognosevarianz im Versuchsraum zu erhalten.

Das Varianzdispersionsdiagramm und die Versuchspläne

Varianzdispersionsdiagramme sind Grafiken, auf denen die skalierte Prognosevarianz eines Versuchsplans im Versuchsraum angezeigt wird. Sie sind nützlich, um

• einen Versuchsplan sinnvoll auszuwählen,
• zwei oder mehr Versuchspläne zu vergleichen,
• die Performance eines Versuchsplans auszuwerten und
• die Performances zweier oder mehrerer Versuchspläne für ein spezifisches Modell (Linear, Linear + Quadrate, Linear + Wechselwirkungen, Vollständig Quadratisch) zu vergleichen.

Sei n die Anzahl der Versuche und X die Versuchsplanmatrix. Da die Prognosevarianz Var(ŷ) = x^T(X^TX)^-1x nicht von der Antwortvariablen, sondern lediglich von der Designmatrix X abhängig ist, lässt sich die Gleichung

v(x) = (n*Var(ŷ))/σ²

mit welcher die skalierte Prognosevarianz mathematisch geschätzt wird, zu

(n*σ²*x^T(X^TX)^-1x)/σ² = n*x^T(X^TX)^-1x

vereinfachen. Die skalierte Prognosevarianz ist also eine Funktion in Abhängigkeit von n, X und dem Punkt x. Auf Grund der Unabhängigkeit der skalierten Prognosevarianz von der Antwortvariablen hilft Ihnen das Varianzdispersionsdiagramm, die Stichhaltigkeit eines Plans von vornherein zu bewerten.

Zusammensetzung des Varianzdispersionsdiagramms

Ein Varianzdispersionsdiagramm besteht aus

• einer Kurve der sphärischen Varianz als vom Radius r abhängige Funktion. Die sphärische Varianz entspricht dem Integral der Funktion v(x) über einer n-dimensionalen Kugeloberfläche, einer sogenannten Hypersphäre, vom Radius r.
• einer Darstellungskurve der maximalen Prognosevarianz in Abhängigkeit des Radius r. Es werden hier zwischen 0 und der maximalen Distanz vom Zentrum zum Rand des Versuchsplans mit einem kleinen Inkrement mehrere Werte für r als Stützstellen für die Kurve genommen.
• einer Darstellungskurve der minimalen Prognosevarianz in Abhängigkeit des Radius r.
• einer horizontalen Linie bei der Varianz v(x) = p. Hier ist p die Anzahl der Parameter im Anpassungsmodell. Ein Optimalitätskriterium für den Versuchsplan ist, dass die maximale Prognosevarianz für jeden Punkt im Versuchsplan ≤ p ist.

Das Varianzdispersionsdiagramm zeigt die mittleren, maximalen und minimalen skalierten Prognosevarianzen für jeden Wert von r. Damit wird konkret die Distanz jedes Punktes zum Ursprung oder Zentrum des Versuchsplans dargestellt.

Erstellen eines Varianzdispersionsdiagramms mit Hilfe eines Minitab-Makros

Das Makro VDG.mac aus der Makrobibliothek von Minitab Inc. ermöglicht Ihnen das Erstellen eines Varianzdispersionsdiagramms. In diesem Abschnitt wird an einem Beispiel beschrieben, mit welchem Befehl Sie das Makro ausführen können, sowie kurz die Bedeutung der optionalen Unterbefehle erläutert. Eine Beschreibung zum Verwenden von Makros finden Sie im Artikel Aufruf eines Makros.

Bitte öffnen Sie ein leeres Minitab-Projekt und erstellen Sie nacheinander einen zentral zusammengesetzten Versuchsplan und einen Box-Behnken-Versuchsplan mit jeweils drei Faktoren über Statistik: Versuchsplanung (DOE): Wirkungsfläche: Wirkungsflächenversuchsplan erstellen. Behalten Sie die sonstigen Einstellungen bei. Sie haben jetzt zwei Arbeitsblätter mit jeweils einem Versuchsplan und Faktorspalten A, B und C. Kopieren Sie die Faktorspalten in ein gemeinsames neues Arbeitsblatt und machen Sie durch die Benennung kenntlich, welche Spalten zum zentral zusammengesetzten und welche zum Box-Behnken-Versuchsplan gehören, zum Beispiel durch die Benennung A_zz, B_zz, C_zz und A_bb, B_bb und C_cc. Verwenden Sie das Werkzeug Daten: Kopieren: Spalten in Matrix zum Kopieren der Spalten des zentral zusammengesetzten Versuchsplans in die Matrix M1 und zum Kopieren der Spalten des Box-Behnken-Versuchsplans in die Matrix M2. Der Befehl zum Ausführen des Makros ist

%vdg M1 M2

Zu den Unterbefehlen, die Sie wahlweise verwenden können, gehören:

• model "Typ" (Standardeinstellung: "quadratic")
  
  Legen Sie mit diesem Unterbefehl den Modelltyp fest. Mögliche Modelltypen sind:
  • "linear" (Linear)
  • "purequadratic" (Linear + Quadrate)
  • "interaction" (Linear + Wechselwirkungen)
  • "quadratic" (Vollständig Quadratisch)
    
    
• resolution Auflösung (Standardeinstellung: 100)
  
  Legen Sie mit diesem Unterbefehl die zum Schätzen der minimalen, maximalen und mittleren Prognosevarianz an jedem unterschiedlichen Punkt des Radius gezogene Anzahl der Versuchsplanpunkte an. Für die drehbaren Versuchspläne können Sie eine schwache Auflösung auswählen. Für die anderen Versuchspläne könnte es notwendig sein, die Auflösung mit jeder Erhöhung der Anzahl der Faktoren zu erhöhen.
  
  
• increment Schritt (Standardeinstellung: 0,1)
  
  Legen Sie mit diesem Unterbefehl das Inkrement für den Radius r fest.
  
  
• maxdist edge
  
  Standardmäßig wird edge als die Distanz vom Zentrum zum am Weitesten entfernten Randpunkt des Versuchsplans berechnet. Die können edge durch Eingabe eines selbst festgelegten Wertes modifizieren.
  
  

Die auf einer Monte-Carlo-Simulation basierende Methode zum Schätzen der skalierten Prognosevarianz ist im französischsprachigen Originalartikel zusammengefasst beschrieben.

Literatur

Marsaglia G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere". The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 43, numéro 2 (1972), pages 645 et 646.

Myers R, Montgomery D. (2002). Response Surface Methodology — Process and Product Optimization Using Designed Experiments, deuxième édition, John Wiley & Sons, Inc.

Siehe auch

Determinante von X^t*X